**propiedad fundamental de las proporciones: el producto de los medios es igual al producto de los extremos**
AYUDA: a veces es necesario recurrir a cantidades en su conjunto para ayudarnos
a razonar las proporciones , como hombres, horas, viviendas, distancias, etc.
Problema ejemplo
1) Para plantar girasoles en un terreno de 500 m², 10 personas demoraron 15
días de 7 horas diarias de trabajo ¿Cuántos días de 8 horas diarias demorarán
en plantar 800 m² 15 personas doblemente hábiles?
planteo
A B C D E*
500 m²----------10 p ---------15 ds---------7 h/d----------1 hab.
800 m²----------15 p----------x-------------8 h/d----------2 hab
* ¿Qué significa E? como no se informa el grado de habilidad en la primera proporción
se entiende que es un entero y la otra proporción será el doble de ésta (que sí está
informada)*
A con C
si 500 m² se terminan de sembrar en 15 ds, a mas m² (800) se necesitarán mas días
directa***
B con C
10 personas terminan un trabajo en 15 ds, si fuesen mas las personas (15) para hacer
ese trabajo, se terminaría en menos tiempo , inversa***
D con C
si para terminar un trabajo en 15 ds lo hago a razon de 7 h/d, si aumento las h/d (8)
lo terminaré en menos días, inversa***
E con C
si el personal tiene habilidad 1 para terminar un trabajo en 15 ds, si aumenta la habilidad
en (2) seguramente mi trabajo terminará antes , es decir en menos días, inversa***
armamos las proporciones según el movimiento de las flechas:
A es directa------------ 500 : 800 : : 15 : x
B es inversa----------- 15 : 10 : :
D es inversa----------- 8 : 7 : :
E es inversa----------- 2 : 1 : :
" se lee 500 es a 800 como 15 es a x"
" el término de la x se escribe una sola vez"
por último armamos la ecuación según la propiedad de las proporciones
800 x 15 x 10 x 7 x 1
_________________________
500 x (x ) x 15 x 8 x 2
pero como tenemos que averiguar el valor de x entonces la despejamos:
800 x 15 x 10 x 7 x 1
x = ________________________
500 x 15 x 8 x 2
por lo tanto deducimos que los medios multiplican en el numerador y los
extremos multiplican en el denominador
extremos multiplican en el denominador
x =7
Rta.: las 15 personas se demorarán 7 días.
2) "La Piedra Fundamental" es una empresa que se dedic a picar piedras en zona montañosa,
las cuales serán destinadas a la constructora "La Casita". Se sabe que actualmente tiene
un stock de 7000 toneladas, que serán destinadas a la construcción de un edificio
habiacional compuesto de 10 pisos, 4 departamentos por piso, destinados a una familia
tipo cada uno; además trabajan 50 albañiles que necesitan el 20 % del stock de piedras.
Otro proyecto de "La Casita" es edificar un edificio de 15 pisos, de 5 departamentos por
piso, destinado a 6 personas por piso, empleando a 40 albañiles ¿Qué pocentaje de
piedras serán necesarias?
1 familia tipo = 4 habitantes
planteo
A B C D E
10 p-----------4 d/p--------4 hab----------50 a----------1.400 tn
15 p-----------5 d/p--------6 ha-----------40 a-------------x
A con E
si para construir 10 pisos se usan 1400 tn, para mas pisos (15) se usarán
mas tn, directa***
B con E
para 4 d/p se usan 1.400 tn, para mas d/p (5), usaremos mas tn, directa***
C con E
para la vivienda de 4 personas se usa 1.400 tn, si los habitantes fuesen mas
(5) la vivienda sería mas grande, y las tn serían mas, directa***
D con E
50 albañiles usan 1.400 tn, en un día por ejemplo, si los albañiles fuesen menos
(40) utilizarían menos tn al día, directa***
armamos las proporciones
A con E es directa-------------10 : 15 : : 1.400 : x
B con E es directa---------------4 : 5 : : 1.400 : x
C con E es directa---------------4 : 6 : : 1.400 : x
D con E es directa-------------50 : 40 : : 1.400 : x
formamos la ecuación
las cuales serán destinadas a la constructora "La Casita". Se sabe que actualmente tiene
un stock de 7000 toneladas, que serán destinadas a la construcción de un edificio
habiacional compuesto de 10 pisos, 4 departamentos por piso, destinados a una familia
tipo cada uno; además trabajan 50 albañiles que necesitan el 20 % del stock de piedras.
Otro proyecto de "La Casita" es edificar un edificio de 15 pisos, de 5 departamentos por
piso, destinado a 6 personas por piso, empleando a 40 albañiles ¿Qué pocentaje de
piedras serán necesarias?
1 familia tipo = 4 habitantes
planteo
A B C D E
10 p-----------4 d/p--------4 hab----------50 a----------1.400 tn
15 p-----------5 d/p--------6 ha-----------40 a-------------x
A con E
si para construir 10 pisos se usan 1400 tn, para mas pisos (15) se usarán
mas tn, directa***
B con E
para 4 d/p se usan 1.400 tn, para mas d/p (5), usaremos mas tn, directa***
C con E
para la vivienda de 4 personas se usa 1.400 tn, si los habitantes fuesen mas
(5) la vivienda sería mas grande, y las tn serían mas, directa***
D con E
50 albañiles usan 1.400 tn, en un día por ejemplo, si los albañiles fuesen menos
(40) utilizarían menos tn al día, directa***
armamos las proporciones
A con E es directa-------------10 : 15 : : 1.400 : x
B con E es directa---------------4 : 5 : :
C con E es directa---------------4 : 6 : :
D con E es directa-------------50 : 40 : :
formamos la ecuación
15 x 5 x 6 x 40 x 1.400
x=_________________________
10 x 4 x 4 x 50
25.200.000
x=______________
8.000
x = 3.150 tn.
Pero como el problema nos pide "que pocentaje" resolvemos:
7.000 x %
_________= 3.150
100
3.150 x 100
%=____________
7.000
% = 45
Rta. : se necesitan el 45 % de piedras del stock de "La Piedra Fundamental"
3)Dos empleados de la municipalidad de un barrio muy arboleado, trabajan 4 veces
por mes cada uno, recolectando 300 kg de hojas secas, cuando la temperatura media es de
10º haciendo un recorrido de 100 cuadras. Se tiene pensado aumentar el personal al
doble cuando sea primavera (30º), que trabajarían 1 vez por mes cada uno recolectando
la mitad de hojas, pero haciendo el mismo recorrido. ¿Cuántas cuadras recorrerá cada
grupo?
planteo
A B C D E
2 e---------8 v/m--------300 kg--------10º--------100 - x
4 e---------4 v/m--------150 kg--------30º-------- x
A con E
si 2 barrenderos recogen 300 kg de hojas en 100 cuadras, si los empleados
fuesen mas (4) esa misma cantidad de kg la levantarían de menos cuadras
inversa***
B con E
si trabajando 8 v/m recogen 300 kg en 100 cuadras, si la frecuencia fuese menos
(4) para recoger los mismos kg, las cuadras serían mas , inversa***
C con E
si 300 kg se recogen de 100 cuadras, menos kg (150) se recogerán de menos cuadras
directa***
D con E
si se recogen 300 kg en 100 cuadras cuando la temperatura media es de 10º
(otoño), si aumentan los grados en 30º (primavera), para recoger esos 300 kg
(en primavera hay menos hojas secas) se tendrá que aumentar las cuadras, directa***
A con E inversa------------4 : 2 : : 100 - x : x
B con E inversa------------4 : 8 : :100 - x : x
C con E directa----------300 : 150 : : 100 - x : x
D con E directa-----------10 : 30 : :100 - x : x
2 x 8 x 150 x 30 x (100 - x )
x = ______________________
4 x 4 x 300 x 10
72.000 (100-x)
x=______________
48.000
x= 1,5 (100-x)
x= 150 - 1,5 x
x + 1,5 x = 150
2,5 x = 150
x = 150 / 2,5
x = 60
luego 100 - 60 = 40
Rta: el primer grupo efectúa su trabajo en 40 cuadras, y el grupo nuevo lo hará en
60 cuadras.
10 x 4 x 4 x 50
25.200.000
x=______________
8.000
x = 3.150 tn.
Pero como el problema nos pide "que pocentaje" resolvemos:
7.000 x %
_________= 3.150
100
3.150 x 100
%=____________
7.000
% = 45
Rta. : se necesitan el 45 % de piedras del stock de "La Piedra Fundamental"
3)Dos empleados de la municipalidad de un barrio muy arboleado, trabajan 4 veces
por mes cada uno, recolectando 300 kg de hojas secas, cuando la temperatura media es de
10º haciendo un recorrido de 100 cuadras. Se tiene pensado aumentar el personal al
doble cuando sea primavera (30º), que trabajarían 1 vez por mes cada uno recolectando
la mitad de hojas, pero haciendo el mismo recorrido. ¿Cuántas cuadras recorrerá cada
grupo?
planteo
A B C D E
2 e---------8 v/m--------300 kg--------10º--------100 - x
4 e---------4 v/m--------150 kg--------30º-------- x
A con E
si 2 barrenderos recogen 300 kg de hojas en 100 cuadras, si los empleados
fuesen mas (4) esa misma cantidad de kg la levantarían de menos cuadras
inversa***
B con E
si trabajando 8 v/m recogen 300 kg en 100 cuadras, si la frecuencia fuese menos
(4) para recoger los mismos kg, las cuadras serían mas , inversa***
C con E
si 300 kg se recogen de 100 cuadras, menos kg (150) se recogerán de menos cuadras
directa***
D con E
si se recogen 300 kg en 100 cuadras cuando la temperatura media es de 10º
(otoño), si aumentan los grados en 30º (primavera), para recoger esos 300 kg
(en primavera hay menos hojas secas) se tendrá que aumentar las cuadras, directa***
A con E inversa------------4 : 2 : : 100 - x : x
B con E inversa------------4 : 8 : :
C con E directa----------300 : 150 : :
D con E directa-----------10 : 30 : :
2 x 8 x 150 x 30 x (100 - x )
x = ______________________
4 x 4 x 300 x 10
72.000 (100-x)
x=______________
48.000
x= 1,5 (100-x)
x= 150 - 1,5 x
x + 1,5 x = 150
2,5 x = 150
x = 150 / 2,5
x = 60
luego 100 - 60 = 40
Rta: el primer grupo efectúa su trabajo en 40 cuadras, y el grupo nuevo lo hará en
60 cuadras.
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