REGLA DE TRES CON 4 MAGNITUDES, USANDO FRACCIONES




**los numeradores multiplican arriba y los denominadores multiplican abajo**



regla de tres compuesta-ejercicios resueltos-usando fracciones



AYUDA: a veces es necesario recurrir a cantidades en su conjunto para ayudarnos 

a razonar las proporciones , como  hombres, horas, viviendas, distancias, etc.


 Problema ejemplo




1) 15 obreros comienzan la construcción de una casa trabajando 7 horas diarias y la

terminane en 40 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir 8 casas

 iguales en 60 días,  trabajando 8 horas por día?


Hagamos el planteo

Lo expresado en letras , lo colocaremos en forma de planteo


A                       B                          C                                 D

1 c----------15 ob-----------7 h/d---------------40 ds.



8 c-----------x ob------------8 h/d--------------60 ds.




analicemos A con B 

si para construir 1 casa se necesitan 15 obreros, para construir mas  casas (8)

se necesitaran mas obreros entonces la relación es directa***



analicemos C con B


si para efectuar una construcción 15 ob trabajan 7 h/d, si trabajacen mas h/d

por el mismo trabajo serían menos los obreros a emplear , la relacion es

inversa***


analicemos D con B:

una construcción se termina en 40 ds  empleando a 15 ob, si la misma construcción 

se podría terminar en mas días ( 60) los obreros a emplear van a ser menos.

la relación es inversa***




armamos las fracciones


D                        D                     I                                  I

1 c----------15 ob-----------7 h/d---------------40 ds.


8 c-----------x ob------------8 h/d--------------60 ds.



1         15         8             60
___   ___    ____      _____

  8        x           7               40


**la columna de la incógnita siempre es directa**


 15       1  x  8  x  60
___=____________
  x        8  x  7  x  40


15             480
___ = ______

  x           2.240


   1            480
___=___________
   x        2.240 x 15


  1          480  
___=________
  x          33.600

   
         33.600
x=________
           480


x= 70


Rta: serán necesarios 70 obreros.




2) Si 8 obreros construyen en 9 días , a razón de 6 horas por día,un muro de 30 m. 

de altura, ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros, trabajando 8 horas por día para

 realizar los 50 m de muro que faltan?



planteo:

A                        B                           C                                D
8 ob-----------9 ds------------6 h/d---------------30m


10 ob---------x ds------------8 h/d-----------------50m



A con B:


si a 8 ob les lleva 9 ds terminar una pared a mas obreros (10) les va a insumir 

menos tiempo terminarla, proporción inversa***


C con B:

si unos obreros trabajan 6h/d para terminar un trabajo en 9 ds, si trabajacen

mas horas por día (8) ese trabajo se terminaria antes es decir menos dias.

relación inversa***

D con B:

se termina la construcción de un muro que mide 30m en 9 dias, si el muro

fuese mas alto (50), se terminaría en mas tiempo relación directa***



armamos las ecuaciones

  I                            D                       I                               D
8 ob-----------9 ds------------6 h/d---------------30m


10 ob---------x ds------------8 h/d-----------------50m


 10      9       8      30

___  ___  ___  ____

  8         x      6       50



   9       10  x  8  x  30
___=____________
    x          8  x  6  x  50


  9          2.400
___=_______
   x          2.400


  9          1
___=
  x  

  9 = x

Rta.: se necesitarán 9 días.



3) Tres hombres trabajando 8 horas por día han hecho 80 m de una obra en

10 días. ¿Cúantos dias necesitarán 5 hombres trabajando 6 h/d para hacer

60 m de la misma obra?



planteo:


A                               B                              C                            D

3 hom------------8 h/d-------------80 m -------------10 ds

5 hom------------6h/d--------------60 m--------------x ds.




A con D 


si 3 hom---------10 ds, mas hombres van a tardar menos días

relación inversa***



B con D:


si 8 h/d-----------10 ds, si las h/d fuesen menos (6), los días en terminar 

el trabajo serán mas, relación inversa***


C con D 


si 80 m -------------10 ds, cuando los metros de la obra son menos (60), los 

días para terminar la obra serán menos, relación directa***



  I                            I                                D

3 hom------------8 h/d-------------80 m -------------10 ds

5 hom------------6h/d--------------60 m--------------x ds.



 5        6      80
___  ___  ______
  3       8       60

10         5  x  6  x  80  
___= ______________
 x           3  x  8  x  60


 10          2.400
____= _______
   x          1.440


1            2.400 
___=_________
  x        1.440 x 10


         1.440 x 10
x=___________
             2.400


      14.400
x=_______
       2.400


x = 6


Rta.: se necesitarán 6 días.



4) Para pavimentar 2 km de camino , 50 trabajadores han empleado 20 días

trabajando 8 horas por día ¿Cuántos días tardarán 100 trabajadores, trabajando


10 horas por día, para construir 6 km mas de camino?



planteo:


A                          B                       C                           D

2km------------50 t----------20 ds-----------8 h/d

6km-----------100 t----------x ds.----------10 h/d




A con C:



 2km---------20 ds, si fuesen mas los km (6) los días para terminar el camino,

 también seran mas , relación directa***  


B con C:


50 t----------20 ds, si los trabajadores fuesen mas (100) la pavimentación 

terminaría en menos tiempo , relación inversa***



D con C:



20 ds-----------8 h/d, si las h/d fuesen mas (10) el trabajo se terminaría


en menor tiempo, relación inversa***

D                            I                                                   I
2km------------50 t----------20 ds-----------8 h/d

6km-----------100 t----------x ds.----------10 h/d



 2     100     10
___  ___  ___
  6      50      8


20        2  x  100  x  10
___=_____________
  x         6  x  50  x  8


  20      2.000
___=_______
    x      2.400


  1           2.000 
___=__________
   x       2.400 x 20


          2.400 x 20
x=____________
           2.000


            48.000
x=__________
             2.000

x = 24


Rta.: tardarán 24 días.



5) Once obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo por 48 m de ancho 

en 6 días. ¿Cuántos obreros sserán necesarios para labrar otro campo análogo de

 300 m de largo por 56 m de ancho, en 5 días?


planteo:

A                               B                              C                             D

11 ob-------------220 mL-----------48 mA------------6 ds.


x ob--------------300mL------------56 mA------------5 ds.



B con A:

11 ob-------------220 mL, si los metros de largo fuesen mas (300) , también

los obreros serán mas, relación directa***

C con A:

11 ob----------------48 mA, si el ancho del terreno fuese mas (56), tambien

los obreros serán mas, relación directa***

D con A:

11 ob-------6 ds. , pero si los días para teminar el trabajo fuesen menos (5)

los obreros tendran que se mas , relación inversa***


                                    D                              D                            I

11 ob-------------220 mL-----------48 mA------------6 ds.


x ob--------------300mL------------56 mA------------5 ds.



   220    48     5
____  ___  ____
   300    56      6


11          220  x   48  x  5
___=_____________
  x          300 x 56  x 6


 11         52.800
___=_________
  x          100.800

  
  1                52.800
____=____________
  x           100.800 x 11



          100.800 x 11
x=_______________
               52.800

x= 21 


Rta.: serán necesarios 21 obreros.



6) 500 obreros del ferrocarril , trabajando 10 horas por día, han colocado ya 2.300 metros

de vía en 28 días. Si 425 obreros trabajarán 8 horas por día ¿Cuántos metros de vía

colocarán en 42 dias?

planteo

A                             B                               C                              D

500 ob-----------10 h/d-----------2.300 m-----------28 ds.

425 ob------------8 h/d-------------x -----------------42 ds.


A con C

si 500 obreros construyen 2.300 m , si los obreros son menos (425) los metros

construidos tambien serán menosdirecta***


B con C

10 h/d-----------2.300 m, pero si las horas por dia fuesen menos (8),  menos metros

se construirian, directa***


D con C

si en 48 ds. se construyen 2.300 m de vía, en mas dias (42) se construirán mas 

metros , directa***


D                               D                                                          D

500 ob-----------10 h/d-----------2.300 m-----------28 ds.

425 ob------------8 h/d-------------x -----------------42 ds.


    500   10       28 
  ____  ___  ___
    425      8       42


2.300        500  x  10  x  28
_____=________________
      x            425  x  8  x  42


2.300         140.000
_____=____________
     x             142.800


   1              140.000
____=______________
    x         142.800 x 2.300


         142.800 x 2.300
x=_________________
                140.000



x= 2.346


Rta.: se colocarán 2.346 metros de vía.




7) Una familia de 5 personas gasta $ 60.000 para vivir 3 meses en una ciudad,

¿Cuánto debe gastar para vivir en otra ciudad durante 5 meses si el costo de vida

es los 5/4 del anterior sabiendo que se une la suegra a la familia?

planteo

A                     B                            C                         D

5 p---------$ 60.000---------3 ms-------------1 c

6 p------------x---------------5 ms------------5/4 c


en la columna D observamos que en los datos del problema no se 

menciona el costo de la familia de 5 personas , es decir , el costo

anterior,  por lo tanto interpretamos que  1 representa al entero.

A con B 

5 p gastan 60.000 , mas personas (6) gastaran mas , directa***

C con B 

en 3 meses se gastan 60.000, a mas meses (5 ) mas gasto , directa***

D con B

si el costo es 1 para 60.000, si el costo aumenta  (5/4= 1.25) tambien aumentara

el dinero disponible para subsistir, directa***


 D                                                     D                         D

5 p---------$ 60.000---------3 ms-------------1 c

6 p------------x---------------5 ms------------5/4 c


   5        3          1  
____ ___ ______
   6       5          5/4


60.000           5  x  3  x  1  
_______=___________
     x                6  x 5  x  5/4

60.000                 15
________=__________
       x                 150 / 4


     1                       15
_____=________________
      x         60.000 x (150 / 4)


          60.000 x (150/4)
x=_________________

                           15

           2.250.000
x=______________
                  15


 x = 150.000


Rta.:una familia de 6 personas deberá gastar $ 150.000


8) 8 hombres construyen 8 casas en un tiempo de 8 años trabajando con un

cierto esfuerzo. ¿Cuántos hombres de la misma habilidad que los anteriores pero

que trabajen con el doble de esfuerzo, se necesitarán para construir el doble de 

casas en un tiempo 50 % menor que el anterior?


planteo

A                    B                         C                         D
   
8 h---------8 c--------------8 a-------------1(es el entero de "cierto esfuerzo")


x----------16 c (8 * 2)------4 a (8/2)--------2( el doble de 1)


B con A

para construir 8 casas trabajan 8 hombres, si aumentan los casas (16), tambien

aumentarán los hombres para  construir  esas casas , directa***

C con A

8 hombres tardaron 8 años en terminar una construccion, si los años para terminar

la misma construcción  son menos (4), se necisitarán mas hombres para terminarla

inversa***

D con A

si pudiesemos medir el esfuerzo  y diriamos que 8 hombres trabajan con un

valor 1 de esfuerzo , si ese esfuerzo fuera mayor (2) los hombres necesarios

sería  menor , inversa***

                     D                           I                     I

8 h---------8 c--------------8 a-------------1

x----------16 c--------------4 a ------------2


   8        4        2
___  ___  ___
   16      8       1


8          8  x  4  x  2 
__=__________
 x       16  x  8  x  1


  1               64
___=_________
  x         128 x 8 


        128 x 8
x=_________
           64

x = 16



Rta.: se necesitarán 16 hombres.


9) Los 15 coches de una compañía de ómnibus, corriendo 14 horas diarias gastan

 1.800 litros de nafta en 6 días. Si se agregan al servicio 9 coches mas ¿Cuantas horas

por día deberán trabajar si en 7 días se utilizan 3.840 litros de nafta?


planteo


    A                   B                         C                         D

  15 c-----------14 h/d-----------1.800 L-----------6 ds.

* 24c------------x ---------------3.840L------------7 ds.


*24 coches = 15 + 9 (segun enunciado)



planteo

A con B

si 15 omnibus o coches realizan un recorrido andando a razón de 14 h/d, mas coches (24)

 para hacer el mismo recorrido utilizarán menos horas por día. inversa***


C con B

si para hacer un recorrido se utilizan 1.800 L de nafta andando a 14 h/d, si los litros

de nafta fuesen mas (3.840) también serían mas las h/d , directa***


D con B

se tarda para hacer un recorrido 6 días andando a 14 h/d, si los días para terminar el 

viaje fuesen mas (7) van a ser menos las h/d a utilizar, inversa***




   I                                                   D                        I

  15 c-----------14 h/d-----------1.800 L-----------6 ds.

  24c------------x ---------------3.840L------------7 ds.

  24        1.800         7
___    ______   ____
  15         3.840         6


 14         24  x  1.800  x  7
___=_______________
    x       15  x  3.840  x  6


  1               24 x 1.800 x 7 
___=_________________
  x       15  x  3.840  x  6  x  14


  1           302.400
___=____________
 x            4.838.400


            4.838.400
x=_____________
           302.400


x= 16 

Rta.: Deberán trabajar 16 horas por día.




10) Una cuadrilla de 40 obreros han hecho 400 metros de cantera durante cierto

número de días , trabajando a razón de 8 horas por día. Otra cuadrilla de 60

hombres ha hecho 675 metros de la misma obra trabajando 6 horas por día.

Si el tiempo que han demorado las dos cuadrillas en hacer sus obras suman 25 días

Hallar el tiempo que emplea cada cuadrilla en hacer su obra.



planteo

40 ob --------400 m-------------x ds----------------8h/d


60 ob -------- 675 m------------(25-x) ds----------6 h/d


acomodamos


A                         B                               C                                D

60 ob -------- 675 m------------(25-x) ds----------6 h/d


40 ob --------400 m-------------x ds----------------8 h/d


(25-x) ds ---->porque 25 ds es proporcional a ambos obreros


analizamos 

A con C

si 60 obreros terminan una obra en 25 días , menos obreros (40) terminarán

la misma obra en mas tiempo,  inversa***

B con C

si 675 metros se terminan de construir en 25 días, menos metros (400), ser 

terminarán de construir en menos tiempo, directa***

D con C

si trabajando a razón de 6 h/d, se termina un trabajo en 25 días, si las h/d fuesen

mas (8), el trabajo seguro que se va a terminar antes, es decir, menos tiempo,

inversa***


I                          D                                                           I


60 ob -------- 675 m------------(25-x) ds----------6 h/d


40 ob --------400 m-------------x ds----------------8 h/d


40      675           8
__   _____   ____
 60      400       6


25 - x          40  x  675  x  8
______=______________
   x                 60  x  400  x  6

  
  1                 40  x  675  x  8
___=___________________
  x               144.000 (25 - x )

              2 ( 25 - x )
x=_____________
                3

      
 3 x = 50 - 2 x

3x + 2x = 50

5x = 50

x = 50/5


x= 10


Rta.: la cuadrilla de 40 obreros emplea 10 días, y la cuadrilla de 60 obreros emplea

15 días (25 - 10 = 15).




11) Si 32 obreros trabajando durante 20 días, 10 horas al día han realizado una 

zanja de 20 metros de largo, 2 metros de ancho y 1 metro de profundidad,

¿Cuántos obreros menos se necesita para realizar una zanja de 30 metros de largo,

3 metros de ancho y 0,5 metros de profundidad en 30 días trabajando 8 horas al

día?


planteo


32 ob--------20 ds-------10 h/d-------20 ml------2 ma---------1 mp

32-x---------30 ds-------8 h/d--------30 ml------3 ma-------0,5 mp


tenemos un planteo de 6 magnitudes, pero lo podemos convertir en 4

representando a la zanja en metros cúbicos:

20 m x 2 m x 1 m = 40 m³

30 m  x 3 m x 0,5 m = 45 m³


A                          B                           C                         D

32 ob-----------20 ds----------10 h/d----------40 m³

  x--------------30 ds-----------8 h/d----------45 m³


B con A

en 20 días terminan una obra 32 ob, si fuera mayor el plazo (30) se necesitarían 

menos obreros, inversa***

C con A

trabajando 10 /d , 32 ob terminan una obra, si las h/d fuesen menos (8), para 

terminar esa misma obra serán necesarios mas obreros, inversa***

D con A

si la zanja mide 40 m³ y para cavarla se necesitan 32 ob, si la zanja fuese de 

45 m³ (mas m³) , los obreros necesarios serán masdirecta***



                                  I                            I                       D

32 ob-----------20 ds----------10 h/d----------40 m³

  x--------------30 ds-----------8 h/d----------45 m³



armamos las fracciones


 30      8       40
___  ___  ___
 20      10     45


32            30  x  8  x  40
___=______________
 x             20  x  10  x  45


 1             30  x  8  x  40  
___=________________
  x        20  x  10  x  45  x  32



            32  x  20  x  10  x  45  
x=__________________
       
                 30  x  8  x  40 


        288.000
x=__________
           9.600


x = 30

Nótese que la incógnita del problema es cuántos obreros menos se 

necesitaran para la nueva construcción , por lo tanto :

32 - 30 = 2 

Rta.: se necesitarán 2 obreros menos.





12) Un paredón costanero de 22 metros de largo por 7 metros de alto es construído

por 25 peones, que trabajan jornadas de 7 horas, en 12 días. ¿Cuánto se tardará

en levantar otro de 110 metros de largo por 6 metros de alto , si se cuenta con

20 obreros que trabajan 8 horas diarias? Expresarlo en días y horas.


22 mL---------7 ma-----------25 p------------7 h/d------------12 d

110 mL--------6 ma-----------20 p------------8 h/d-------------x


convertimos los metros lineales del paredón en m²

22 x 7 = 154 m²

110 x 6 = 660 m²

planteo

A                               B                     C                          D
154 m²----------25 p---------7 h/d-----------12 d

660 m²----------20 p---------8 h/d------------x


A con D

si 154 m² se terminan de construir en 12 días, mas metros cúbicos (660)

se construirán en mas días, directa***

B con D

si 25 peones terminan una obra en 12 días, menos obreros (20) terminarán la 

misma obra en mas días, inversa***

C con D

si para hacer una obra a razón de 7 h/d se tardan 12 dias, si las h/d fuesen mas

(8) los días para terminar la obra serán menos, inversa***


   154        20                8
____      ____     _____
   660        25               7


  12               154  x  20  x  8
____=_______________
    x            660  x  25  x  7



   1           154  x  20  x  8
___=_________________
   x       660  x  25  x  7  x  12



         660  x  25  x  7  x  12
x=___________________
             154  x  20  x  8


x=56,25


56 días y sobran 0,25 días

0,25 días x 24= 6 horas


Rta.: se tardarán 56 días y 6 horas.


























































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