PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
**EL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS MEDIOS**
1) 15 obreros comienzan la construcción de una casa trabajando 7 horas diarias y la
terminane en 40 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir 8 casas
iguales en 60 días, trabajando 8 horas por día?
Hagamos el planteo
Lo expresado en letras , lo colocaremos en forma de planteo
A B C D
1 c----------15 ob-----------7 h/d---------------40 ds.
8 c-----------x ob------------8 h/d--------------60 ds.
una vez obtenido el planteo ubicaremos las flechas de acuerdo a que tipo de relación le
corresponde cada proporción , si es directa o inversa.
Como A es directa aplicaremos el esquema de las flechas entre A y B
comenzando en 1 y terminando en x:
1 arriba 8 abajo 15 arriba x abajo
escrito en forma de proporción :
1 : 8 : : 15 : x-----> se lee 1 es a 8 como 15 es a x
C es inversa
aplicamos el otro grafico comenzando en
8 abajo 7 arriba 15 arriba x abajo
escrito en forma de proporción :
8 : 7 : : 15 : x ----> 8 es a 7 como 15 es a x
D es inversa
60 abajo 40 arriba 15 arriba x abajo
escrito en forma de proporción:
60 : 40 : : 15 : x----> 60 es a 40 como 15 es a x
encolumnamos todas las proporciones encontradas,y
luego aplicamos la propiedad de las proporciones y decimos:
1 : 8 : : 15 : x
8 : 7 : : 15 : x (la proporción de la x se escribe solo una vez)
60 : 40 : : 15 : x
8 x 15 x 7 x40 = 1 x (x) x 8 x 60
al despejar x obtenemos:
8 x 15 x 7 x 40
x=______________
1 x 8 x 60
es decir, x = al producto de los medios , dividido el producto de los extremos
x = 70 obreros.
2) Si 8 obreros construyen en 9 días , a razón de 6 horas por día,un muro de 30 m.
de altura, ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros, trabajando 8 horas por día para
realizar los 50 m de muro que faltan?
planteo:
A B C D
8 ob-----------9 ds------------6 h/d---------------30m
10 ob---------x ds------------8 h/d-----------------50m
A es inversa
C es inversa
D es directa
luego
(A)10 : 8 : : 9 : x
(C) 8 : 6 : 9 : x
(D) 30 : 50 : : 9 : x
x=____________
10 x 8 x 30
x = 9 días.
10 días. ¿Cúantos dias necesitarán 5 hombres trabajando 6 h/d para hacer
60 m de la misma obra?
planteo:
A B C D
3 hom------------8 h/d-------------80 m -------------10 ds
5 hom------------6h/d--------------60 m--------------x ds.
A es inversa
B es inversa
C es directa
(A) 5 : 3 : : 10 : x
(B) 6 : 8 : : 10 : x
(C) 80 : 60 : : 10 : x
3 x 10 x 8 x 60
x= ______________
5 x 6 x 80
x = 6 días.
4) Para pavimentar 2 km de camino , 50 trabajadores han empleado 20 días
trabajando 8 horas por día ¿Cuántos días tardarán 100 trabajadores, trabajando
10 horas por día, para construir 6 km mas de camino?
planteo:
A B C D
2km------------50 t----------20 ds-----------8 h/d
6km-----------100 t----------x ds.----------10 h/d
A es directa
B es inversa
D es inversa
(A) 2 : 6 : : 20 : x
(B) 100 : 50 : : 20 : x
(D) 10 : 8 : : 20 : x
x=______________
2 x 100 x 10
x= 24 dias.
5) Once obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo por 48 m de ancho
en 6 días. ¿Cuántos obreros sserán necesarios para labrar otro campo análogo de
300 m de largo por 56 m de ancho, en 5 días?
planteo:
A B C D
11 ob-------------220 mL-----------48 mA------------6 ds.
x ob--------------300mL------------56 mA------------5 ds.
B es directa
C es directa
D es inversa
(B) 220 : 300 : : 11 : x
(C) 48 : 56 : : 11 : x
(D) 5 : 6 : : 11 : x
300 x 11 x 56 x 6
x =_________________
220 x 48 x 5
x = 21 obreros.
**EL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS MEDIOS**
***AYUDA: a veces es necesario recurrir a cantidades en su conjunto para ayudarnos
a razonar las proporciones , como hombres, horas, viviendas, distancias, etc.
Problema explicativo:
terminane en 40 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir 8 casas
iguales en 60 días, trabajando 8 horas por día?
Hagamos el planteo
Lo expresado en letras , lo colocaremos en forma de planteo
A B C D
1 c----------15 ob-----------7 h/d---------------40 ds.
8 c-----------x ob------------8 h/d--------------60 ds.
una vez obtenido el planteo ubicaremos las flechas de acuerdo a que tipo de relación le
corresponde cada proporción , si es directa o inversa.
Como A es directa aplicaremos el esquema de las flechas entre A y B
comenzando en 1 y terminando en x:
1 arriba 8 abajo 15 arriba x abajo
escrito en forma de proporción :
1 : 8 : : 15 : x-----> se lee 1 es a 8 como 15 es a x
C es inversa
aplicamos el otro grafico comenzando en
8 abajo 7 arriba 15 arriba x abajo
escrito en forma de proporción :
8 : 7 : : 15 : x ----> 8 es a 7 como 15 es a x
D es inversa
60 abajo 40 arriba 15 arriba x abajo
escrito en forma de proporción:
60 : 40 : : 15 : x----> 60 es a 40 como 15 es a x
encolumnamos todas las proporciones encontradas,y
luego aplicamos la propiedad de las proporciones y decimos:
1 : 8 : : 15 : x
8 : 7 : :
60 : 40 : :
8 x 15 x 7 x40 = 1 x (x) x 8 x 60
al despejar x obtenemos:
8 x 15 x 7 x 40
x=______________
1 x 8 x 60
es decir, x = al producto de los medios , dividido el producto de los extremos
x = 70 obreros.
2) Si 8 obreros construyen en 9 días , a razón de 6 horas por día,un muro de 30 m.
de altura, ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros, trabajando 8 horas por día para
realizar los 50 m de muro que faltan?
planteo:
A B C D
8 ob-----------9 ds------------6 h/d---------------30m
10 ob---------x ds------------8 h/d-----------------50m
A es inversa
C es inversa
D es directa
luego
(A)10 : 8 : : 9 : x
x=____________
10 x 8 x 30
x = 9 días.
10 días. ¿Cúantos dias necesitarán 5 hombres trabajando 6 h/d para hacer
60 m de la misma obra?
planteo:
A B C D
3 hom------------8 h/d-------------80 m -------------10 ds
5 hom------------6h/d--------------60 m--------------x ds.
A es inversa
B es inversa
C es directa
(A) 5 : 3 : : 10 : x
(B) 6 : 8 : :
(C) 80 : 60 : :
3 x 10 x 8 x 60
x= ______________
5 x 6 x 80
x = 6 días.
4) Para pavimentar 2 km de camino , 50 trabajadores han empleado 20 días
trabajando 8 horas por día ¿Cuántos días tardarán 100 trabajadores, trabajando
10 horas por día, para construir 6 km mas de camino?
planteo:
A B C D
2km------------50 t----------20 ds-----------8 h/d
6km-----------100 t----------x ds.----------10 h/d
A es directa
B es inversa
D es inversa
(A) 2 : 6 : : 20 : x
(B) 100 : 50 : :
(D) 10 : 8 : :
x=______________
2 x 100 x 10
x= 24 dias.
5) Once obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo por 48 m de ancho
en 6 días. ¿Cuántos obreros sserán necesarios para labrar otro campo análogo de
300 m de largo por 56 m de ancho, en 5 días?
planteo:
A B C D
11 ob-------------220 mL-----------48 mA------------6 ds.
x ob--------------300mL------------56 mA------------5 ds.
B es directa
C es directa
D es inversa
(B) 220 : 300 : : 11 : x
(C) 48 : 56 : :
(D) 5 : 6 : :
300 x 11 x 56 x 6
x =_________________
220 x 48 x 5
x = 21 obreros.
6) 500 obreros del ferrocarril , trabajando 10 horas por día, han colocado ya 2.300 metros
de vía en 28 días. Si 425 obreros trabajarán 8 horas por día ¿Cuántos metros de vía
colocarán en 42 dias?
planteo
A B C D
500 ob-----------10 h/d-----------2.300 m-----------28 ds.
425 ob------------8 h/d-------------x -----------------42 ds.
A con C directa
B con C directa
D con C directa
A ------500 : 425 : : 2.300 : x
B-------- 10 : 8 : :2.300 : x
D --------28 : 42 : : 2.300 : x
x=___________________
500 x 10 x 28
x = 2.346
Rta.: 2.346 metros de vía.
7) Una familia de 5 personas gasta $ 60.000 para vivir 3 meses en una ciudad,
¿Cuánto debe gastar para vivir en otra ciudad durante 5 meses si el costo de vida
es los 5/4 del anterior sabiendo que se une la suegra a la familia?
planteo
A B C D
5 p---------$ 60.000---------3 ms-------------1 c
6 p------------x---------------5 ms------------5/4 c
en la columna D observamos que en los datos del problema no se
menciona el costo de la familia de 5 personas , es decir , el costo
anterior, por lo tanto interpretamos que 1 representa al entero.
A con B directa
C con B directa
D con B directa
A------ 5 : 6 : : 60.000 : x
C------ 3 : 5 : : 60.000 : x
D------1 : 1,25 : : 60.000 : x
x =______________________
5 x 3 x 1
37,5 x 60.000
x=________________
15
x = 150.000
Rta.:una familia de 6 personas deberá gastar $ 150.000
8) 8 hombres construyen 8 casas en un tiempo de 8 años trabajando con un
cierto esfuerzo. ¿Cuántos hombres de la misma habilidad que los anteriores pero
que trabajen con el doble de esfuerzo, se necesitarán para construir el doble de
casas en un tiempo 50 % menor que el anterior?
planteo
A B C D
8 h---------8 c--------------8 a-------------1(es el entero de "cierto esfuerzo")
x----------16 c (8 * 2)------4 a (8/2)--------2( el doble de 1)
B con A directa
C con A inversa
D con A inversa
B-------- 8 : 16 : : 8 : x
C---------4 : 8 : : 8 : x
D---------2 : 1 : : 8 : x
x =______________
8 x 4 x 2
x = 16
Rta.: se necesitarán 16 hombres.
9) Los 15 coches de una compañía de ómnibus, corriendo 14 horas diarias gastan
1.800 litros de nafta en 6 días. Si se agregan al servicio 9 coches mas ¿Cuantas horas
por día deberán trabajar si en 7 días se utilizan 3.840 litros de nafta?
planteo
A B C D
15 c-----------14 h/d-----------1.800 L-----------6 ds.
* 24c------------x ---------------3.840L------------7 ds.
*24 coches = 15 + 9 (segun enunciado)
A con B
de vía en 28 días. Si 425 obreros trabajarán 8 horas por día ¿Cuántos metros de vía
colocarán en 42 dias?
planteo
A B C D
500 ob-----------10 h/d-----------2.300 m-----------28 ds.
425 ob------------8 h/d-------------x -----------------42 ds.
A con C directa
B con C directa
D con C directa
A ------500 : 425 : : 2.300 : x
B-------- 10 : 8 : :
D --------28 : 42 : :
x=___________________
500 x 10 x 28
x = 2.346
Rta.: 2.346 metros de vía.
7) Una familia de 5 personas gasta $ 60.000 para vivir 3 meses en una ciudad,
¿Cuánto debe gastar para vivir en otra ciudad durante 5 meses si el costo de vida
es los 5/4 del anterior sabiendo que se une la suegra a la familia?
planteo
A B C D
5 p---------$ 60.000---------3 ms-------------1 c
6 p------------x---------------5 ms------------5/4 c
en la columna D observamos que en los datos del problema no se
menciona el costo de la familia de 5 personas , es decir , el costo
anterior, por lo tanto interpretamos que 1 representa al entero.
A con B directa
C con B directa
D con B directa
A------ 5 : 6 : : 60.000 : x
C------ 3 : 5 : :
D------1 : 1,25 : :
x =______________________
5 x 3 x 1
37,5 x 60.000
x=________________
15
x = 150.000
Rta.:una familia de 6 personas deberá gastar $ 150.000
8) 8 hombres construyen 8 casas en un tiempo de 8 años trabajando con un
cierto esfuerzo. ¿Cuántos hombres de la misma habilidad que los anteriores pero
que trabajen con el doble de esfuerzo, se necesitarán para construir el doble de
casas en un tiempo 50 % menor que el anterior?
planteo
A B C D
8 h---------8 c--------------8 a-------------1(es el entero de "cierto esfuerzo")
x----------16 c (8 * 2)------4 a (8/2)--------2( el doble de 1)
B con A directa
C con A inversa
D con A inversa
B-------- 8 : 16 : : 8 : x
C---------4 : 8 : :
D---------2 : 1 : :
x =______________
8 x 4 x 2
x = 16
Rta.: se necesitarán 16 hombres.
9) Los 15 coches de una compañía de ómnibus, corriendo 14 horas diarias gastan
1.800 litros de nafta en 6 días. Si se agregan al servicio 9 coches mas ¿Cuantas horas
por día deberán trabajar si en 7 días se utilizan 3.840 litros de nafta?
planteo
A B C D
15 c-----------14 h/d-----------1.800 L-----------6 ds.
* 24c------------x ---------------3.840L------------7 ds.
*24 coches = 15 + 9 (segun enunciado)
A con B
si 15 omnibus o coches realizan un recorrido andando a razón de 14 h/d, mas coches (24)
para hacer el mismo recorrido utilizarán menos horas por día. inversa***
C con B
si para hacer un recorrido se utilizan 1.800 L de nafta andando a 14 h/d, si los litros
de nafta fuesen mas (3.840) también serían mas las h/d , directa***
D con B
se tarda para hacer un recorrido 6 días andando a 14 h/d, si los días para terminar el
viaje fuesen mas (7) van a ser menos las h/d a utilizar, inversa***
A con B inversa 24 : 15 : : 14 : x
C con B directa 1.800 : 3.840 : : 14 : x
D con B inversa 7 : 6 : : 14 : x
armamos la ecuación y resolvemos
15 x 3.840 x 6 x 14
x=_______________________
24 x 1.800 x 7
x= 16
Rta.: Deberán trabajar 16 horas por día.
x=_______________________
24 x 1.800 x 7
10) Una cuadrilla de 40 obreros han hecho 400 metros de cantera durante cierto
número de días , trabajando a razón de 8 horas por día. Otra cuadrilla de 60
hombres ha hecho 675 metros de la misma obra trabajando 6 horas por día.
Si el tiempo que han demorado las dos cuadrillas en hacer sus obras suman 25 días
Hallar el tiempo que emplea cada cuadrilla en hacer su obra.
planteo
40 ob --------400 m-------------x ds----------------8h/d
60 ob -------- 675 m------------(25-x) ds----------6 h/d
acomodamos
A B C D
60 ob -------- 675 m------------(25-x) ds----------6 h/d
40 ob --------400 m-------------x ds----------------8 h/d
(25-x) ds ---->porque 25 ds es proporcional a ambos obreros
analizamos
A con C
si 60 obreros terminan una obra en 25 días , menos obreros (40) terminarán
la misma obra en mas tiempo, inversa***
B con C
si 675 metros se terminan de construir en 25 días, menos metros (400), ser
terminarán de construir en menos tiempo, directa***
D con C
si trabajando a razón de 6 h/d, se termina un trabajo en 25 días, si las h/d fuesen
mas (8), el trabajo seguro que se va a terminar antes, es decir, menos tiempo,
inversa***
A con C inversa---------40 : 60 : : 25-x : x
B con C directa---------675 : 400 : : 25 - x : x
D con C inversa-----------8 : 6 : : 25 - x : x
60 x (25 - x ) x 400 x 6
x= __________________
40 x 675 x 8
144.000 (25-x)
x=______________
216.000
2 (25-x)
x=________
3
50 - 2x
x=_________
3
3 x = 50 - 2x
3x + 2x = 50
5x = 50
x = 50/5
x=10
Rta.: la cuadrilla de 40 obreros emplea 10 días, y la cuadrilla de 60 obreros emplea
15 días (25 - 10 = 15).
11)Si 32 obreros trabajando durante 20 días, 10 horas al día han realizado una
Si el tiempo que han demorado las dos cuadrillas en hacer sus obras suman 25 días
Hallar el tiempo que emplea cada cuadrilla en hacer su obra.
planteo
40 ob --------400 m-------------x ds----------------8h/d
60 ob -------- 675 m------------(25-x) ds----------6 h/d
acomodamos
acomodamos
A B C D
60 ob -------- 675 m------------(25-x) ds----------6 h/d
40 ob --------400 m-------------x ds----------------8 h/d
(25-x) ds ---->porque 25 ds es proporcional a ambos obreros
analizamos
A con C
si 60 obreros terminan una obra en 25 días , menos obreros (40) terminarán
la misma obra en mas tiempo, inversa***
B con C
si 675 metros se terminan de construir en 25 días, menos metros (400), ser
terminarán de construir en menos tiempo, directa***
D con C
si trabajando a razón de 6 h/d, se termina un trabajo en 25 días, si las h/d fuesen
mas (8), el trabajo seguro que se va a terminar antes, es decir, menos tiempo,
inversa***
A con C inversa---------40 : 60 : : 25-x : x
B con C directa---------675 : 400 : : 25 - x : x
D con C inversa-----------8 : 6 : : 25 - x : x
60 x (25 - x ) x 400 x 6
x= __________________
40 x 675 x 8
144.000 (25-x)
x=______________
216.000
2 (25-x)
x=________
3
50 - 2x
x=_________
3
3 x = 50 - 2x
3x + 2x = 50
5x = 50
x = 50/5
x=10
Rta.: la cuadrilla de 40 obreros emplea 10 días, y la cuadrilla de 60 obreros emplea
11)Si 32 obreros trabajando durante 20 días, 10 horas al día han realizado una
15 días (25 - 10 = 15).
zanja de 20 metros de largo, 2 metros de ancho y 1 metro de profundidad,
¿Cuántos obreros menos se necesita para realizar una zanja de 30 metros de largo,
3 metros de ancho y 0,5 metros de profundidad en 30 días trabajando 8 horas al
día?
planteo
32 ob--------20 ds-------10 h/d-------20 ml------2 ma---------1 mp
32-x---------30 ds-------8 h/d--------30 ml------3 ma-------0,5 mp
tenemos un planteo de 6 magnitudes, pero lo podemos convertir en 4
representando a la zanja en metros cúbicos:
20 m x 2 m x 1 m = 40 m³
30 m x 3 m x 0,5 m = 45 m³
A B C D
32 ob-----------20 ds----------10 h/d----------40 m³
x--------------30 ds-----------8 h/d----------45 m³
B con A
en 20 días terminan una obra 32 ob, si fuera mayor el plazo (30) se necesitarían
menos obreros, inversa***
C con A
trabajando 10 /d , 32 ob terminan una obra, si las h/d fuesen menos (8), para
terminar esa misma obra serán necesarios mas obreros, inversa***
D con A
si la zanja mide 40 m³ y para cavarla se necesitan 32 ob, si la zanja fuese de
45 m³ (mas m³) , los obreros necesarios serán mas, directa***
B con A inversa----- -30 : 20 : : 32 : x
C con A inversa------- 8 : 10 : : 32 : x
D con A directa-------40 : 45 : :32 : x
armamos la ecuación
32 x 20 x 10 x 45
x=__________________
30 x 8 x 40
288.000
x=__________
9.600
x = 30
Nótese que la incógnita del problema es cuántos obreros menos se
necesitaran para la nueva construcción , por lo tanto :
32 - 30 = 2
Rta.: se necesitarán 2 obreros menos.
A es directa----------154 : 660 : : 12 : x
B es inversa----------20 : 25 : :12 : x
C es inversa------------8 : 7 : :12 : x
660 x 25 x 7 x 12
x=___________________
154 x 20 x 8
x=56,25
56 días y sobran 0,25 días
0,25 días x 24= 6 horas
Rta.: se tardarán 56 días y 6 horas.
¿Cuántos obreros menos se necesita para realizar una zanja de 30 metros de largo,
3 metros de ancho y 0,5 metros de profundidad en 30 días trabajando 8 horas al
día?
planteo
32 ob--------20 ds-------10 h/d-------20 ml------2 ma---------1 mp
32-x---------30 ds-------8 h/d--------30 ml------3 ma-------0,5 mp
tenemos un planteo de 6 magnitudes, pero lo podemos convertir en 4
representando a la zanja en metros cúbicos:
20 m x 2 m x 1 m = 40 m³
30 m x 3 m x 0,5 m = 45 m³
A B C D
32 ob-----------20 ds----------10 h/d----------40 m³
x--------------30 ds-----------8 h/d----------45 m³
B con A
en 20 días terminan una obra 32 ob, si fuera mayor el plazo (30) se necesitarían
menos obreros, inversa***
C con A
trabajando 10 /d , 32 ob terminan una obra, si las h/d fuesen menos (8), para
terminar esa misma obra serán necesarios mas obreros, inversa***
D con A
si la zanja mide 40 m³ y para cavarla se necesitan 32 ob, si la zanja fuese de
45 m³ (mas m³) , los obreros necesarios serán mas, directa***
B con A inversa----- -30 : 20 : : 32 : x
C con A inversa------- 8 : 10 : :
D con A directa-------40 : 45 : :
armamos la ecuación
32 x 20 x 10 x 45
x=__________________
30 x 8 x 40
288.000
x=__________
9.600
x = 30
Nótese que la incógnita del problema es cuántos obreros menos se
necesitaran para la nueva construcción , por lo tanto :
32 - 30 = 2
Rta.: se necesitarán 2 obreros menos.
12) Un paredón costanero de 22 metros de largo por 7 metros de alto es construído
por 25 peones, que trabajan jornadas de 7 horas, en 12 días. ¿Cuánto se tardará
en levantar otro de 110 metros de largo por 6 metros de alto , si se cuenta con
20 obreros que trabajan 8 horas diarias? Expresarlo en días y horas.
22 mL---------7 ma-----------25 p------------7 h/d------------12 d
110 mL--------6 ma-----------20 p------------8 h/d-------------x
convertimos los metros lineales del paredón en m²
22 x 7 = 154 m²
110 x 6 = 660 m²
planteo
A B C D
154 m²----------25 p---------7 h/d-----------12 d
660 m²----------20 p---------8 h/d------------x
A con D
si 154 m² se terminan de construir en 12 días, mas metros cúbicos (660)
se construirán en mas días, directa***
B con D
si 25 peones terminan una obra en 12 días, menos obreros (20) terminarán la
misma obra en mas días, inversa***
C con D
si para hacer una obra a razón de 7 h/d se tardan 12 dias, si las h/d fuesen mas
(8) los días para terminar la obra serán menos, inversa***
B es inversa----------20 : 25 : :
C es inversa------------8 : 7 : :
x=___________________
154 x 20 x 8
x=56,25
56 días y sobran 0,25 días
0,25 días x 24= 6 horas
Rta.: se tardarán 56 días y 6 horas.
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