**los numeradores multiplican arriba y los denominadores multiplican abajo**
AYUDA: a veces es necesario recurrir a cantidades en su conjunto para ayudarnos
a razonar las proporciones , como hombres, horas, viviendas, distancias, etc.
1) En un restaurante ubicado a orillas del mar Argentino, de mucha categoría, trabajan
6 camareros los cuales cobran por mes $ 5.000 cada uno entre sueldo fijo y propinas.
Han faltado 10 ds. en total, que podría ser tranquilamente por los días de lluvia que
fueron 15, no obstante es el mas exclusivo de la zona, hasta se podría estimar que
concurren alrededor de 20 comensales por noche.
También se pudo comprobar que las propinas de los mismos son bastante generosas
ya que cada camarero recibe $ 10 cada noche.
Se quiere averiguar si en un mes contratando a 8 camareros que ganen $ 40.000 y
estimando que pudiesen faltar 12 dias, con probabilidad que llueva 12 dias, y que los
clientes fuesen 700 , cuánto será el plus de los camareros?
plus=popina
1 mes = 30 días
planteo
A B C D E F
6 c----------$30.000--------10ds----------15 ll--------600 co--------300 p
8 c----------$40.000---------12ds----------12 ll--------700 co-----------x
A con F
si 6 camareros cobran $ 300 de propina en un mes, mas camareros (8) cobrarán
mas , directa***
B con F
si el sueldo fijo mas las propinas aumentacen (40.000) , se debe a que cobraron mas
propinas, directa***
C con F
los camareros que faltan 10 días cobran $ 300 mensual de propinas, si los días que
faltacen otros camareros sería de 12 días , las propinas serían menos, a mas días de
falta menos propina, inversa***
D con F
los días de lluvia han sido 15 pero de todas formas han podido cobrar 300 pesos de
propina, si los días estimados de lluvia son menos (12), las propinas serán mas,
inversa***
E con F
si 600 comensales dejan $ 300 de propina mensual, mas comensales (700) dejarán
mas propina , directa***
armamos las fracciones
D D I I D
6 c----------$30.000--------10ds----------15 ll--------600 co--------300 p
8 c----------$40.000---------12ds----------12 ll--------700 co-----------x
armamos las fracciones
6 30.000 12 12 600 300
____ _______ ____ ____ _____ _____
8 40.000 10 15 700 x
armamos la ecuación
300 6 x 30.000 x 12 x 12 x 600
____=___________________________________
x 8 x 40.000 x 10 x 15 x 30
1 6 x 30.000 x 12 x 12 x 600
____=________________________________________
x 8 x 40.000 x 10 x 15 x 700 x 300
6 x 30.000 x 12 x 12 x 600
6 camareros los cuales cobran por mes $ 5.000 cada uno entre sueldo fijo y propinas.
Han faltado 10 ds. en total, que podría ser tranquilamente por los días de lluvia que
fueron 15, no obstante es el mas exclusivo de la zona, hasta se podría estimar que
concurren alrededor de 20 comensales por noche.
También se pudo comprobar que las propinas de los mismos son bastante generosas
ya que cada camarero recibe $ 10 cada noche.
Se quiere averiguar si en un mes contratando a 8 camareros que ganen $ 40.000 y
estimando que pudiesen faltar 12 dias, con probabilidad que llueva 12 dias, y que los
clientes fuesen 700 , cuánto será el plus de los camareros?
plus=popina
1 mes = 30 días
planteo
A B C D E F
6 c----------$30.000--------10ds----------15 ll--------600 co--------300 p
8 c----------$40.000---------12ds----------12 ll--------700 co-----------x
A con F
si 6 camareros cobran $ 300 de propina en un mes, mas camareros (8) cobrarán
mas , directa***
B con F
si el sueldo fijo mas las propinas aumentacen (40.000) , se debe a que cobraron mas
propinas, directa***
C con F
los camareros que faltan 10 días cobran $ 300 mensual de propinas, si los días que
faltacen otros camareros sería de 12 días , las propinas serían menos, a mas días de
falta menos propina, inversa***
D con F
los días de lluvia han sido 15 pero de todas formas han podido cobrar 300 pesos de
propina, si los días estimados de lluvia son menos (12), las propinas serán mas,
inversa***
E con F
si 600 comensales dejan $ 300 de propina mensual, mas comensales (700) dejarán
mas propina , directa***
armamos las fracciones
D D I I D
6 c----------$30.000--------10ds----------15 ll--------600 co--------300 p
8 c----------$40.000---------12ds----------12 ll--------700 co-----------x
armamos las fracciones
6 30.000 12 12 600 300
____ _______ ____ ____ _____ _____
8 40.000 10 15 700 x
armamos la ecuación
300 6 x 30.000 x 12 x 12 x 600
____=___________________________________
x 8 x 40.000 x 10 x 15 x 30
1 6 x 30.000 x 12 x 12 x 600
____=________________________________________
x 8 x 40.000 x 10 x 15 x 700 x 300
8 x 40.000 x 10 x 15 x 700 x 300
x=______________________________________
5 x 5 x 700
simplificando....x=___________
27
x = 648,15
Rta.: cobrarán de propinas $ 648,15
4) 20 tipógrafos en 27 días de 9 horas pueden componer 18 pliegos de 24 páginas con
2 columnas cada página, 42 líneas por columna y 30 letras en cada línea.
¿Cuántas horas al día tendrán que trabajar 36 tipógrafos durante 28 días para
componer 32 pliegos de 36 páginas con una columna de 49 líneas y 44 letras cada
línea?
planteo
20 t------27 d----9h/d----18 pl------24 pa-----2 co-----42 l/co------30 le
36 t------28 d------x------32 pl-------36 pa-----1 co-----49 l/co-----44 le
como podemos observar es un planteo muy interesante para razonar y también para
simplificar mucho mas:
20 x 27 x 9 x 32 x 36 x 1 x 49 x 44
x=___________________________________
36 x 28 x 18 x 24 x 2 x 42 x 30
x = 11
pero también podemos reducir las magnitudes que estén mas relacionadas entre sí
como por ejemplo las líneas con líneas por columna y columnas con columnas por
página:
en la primera proporción
si en una línea hay 30 letras , en mas líneas (42) habrá mas letras
1 li ---------30 le
42 li --------30 x 42 / 1 = 1.260 le/li
si en una página hay 2 columnas, en mas paginas (24) habrá mas columnas
1 pa ----------2 co
24 pa -------- 2 x 24 / 1 = 48 co/pa
en la segunda proporción
si en una línea hay 44 letras, en 49 líneas habrá mas letras
1 li ----------44 le
49 li -------- 44 x 49 / 1 = 2.156 le/li
si una página tiene 1 columna, es simple advertir que 36 páginas tendrán 36 columnas
entonces, 36 co/pa
armemos el planteo , con 6 magnitudes
A B C D E F
20 t------27 d------9h/d-------18 pl--------1.260 le/li---------48 co/pa
36 t ------28 d--------x--------32 pl--------2.156 le/li---------36 co/pa
A con C
si 20 tipógrafos hacen una tarea empleando 9 h/d, mas tipógrafos (36) tardarán menos
B con C
si un trabajo se termina en 27 días trabajando a razón de 9 h/d, si plazo fuese mayor
(28), las horas diarias podrían ser menos
D con C
18 pliegos se realizan a razón de trabajar 9 h/d, si los pliegos fuesen mas (32),
mas serían las horas por día
E con C
para acomodar 1.260 letras por línea se usan 9 h/d, si fuesen mas las letras por línea
(2.156) , serán mas las horas diarias para terminar de acomodarlas
F con C
si para compaginar 48 columnas en una página hacen falta 9 h/d, si las columnas
fuesen menos (36), las horas diarias también serían menos
I I D D D
20 t------27 d------9h/d-------18 pl--------1.260 le/li---------48 co/pa
36 t ------28 d--------x--------32 pl--------2.156 le/li---------36 co/pa
9 36 x 28 x 18 x 1.260 x 48
____=__________________________
x 20 x 27 x 32 x 2.156 x 36
1 36 x 28 x 18 x 1.260 x 48
____=__________________________
x 20 x 27 x 32 x 2.156 x 36 x 9
20 x 27 x 32 x 2.156 x 36 x 9
x=________________________________
36 x 28 x 18 x 1.260 x 48
x=11
Rta: 36 tipógrafos deberán trabajar a razón de 11 horas diarias.
2) Un muro de 50 metros de largo por 8,80 metros de alto y 30 metros de espesor
ha sido construído en 18 días por 6 hombres que trabajan 8 horas por día.
Se pregunta ¿qué altura tendrá otra pared que debe ser construída en 30 días por
3 hombres que trabajan 10 horas diarias, si va a tener 70 metros de largo y 45 metros
de espesor?
planteo
A B C D E F
50 mL--------8,80 mA-------30 mE------18 ds--------6 h---------8 h/d
70 mL---------x-------------45 mE-------30 ds--------3 h--------10 h/d
A con B
un muro tiene una forma determinada que es 50 mL por 8,80 mA, si aumentan
los mL (70) para mantener la misma forma se deberá reducir el ancho , inversa***
C con B
una pared tiene una forma de 30 mE por 8,80 mA, si el espesor aumentase (45),
se debera reducir los metros de ancho para que conserve su masa , inversa***
D con B
en 18 ds. se termina un muro de 8,80 mA, si el plazo para construirlo es mayor
(30) el ancho tambien será mayor , directa***
E con B
si en 6 horas se terminan de construir un muro de 8,80 m de ancho, en menos
horas (3), se construirán menos metros de anchura, directa***
F con B
trabajando 8 horas por día se construye un muro de 8,80 mA, si fuesen mas
las horas diarias (10) se construirían mas metros de ancho, directa***
I I D D D
I I D D D
50 mL--------8,80 mA-------30 mE--------18 ds----------6 h---------8 h/d
70 mL---------x-------------45 mE----------30 ds---------3 h----------10 h/d
70 45 18 6 8
____ _____ _____ _____ _____
50 30 30 3 10
70 45 18 6 8
____ _____ _____ _____ _____
50 30 30 3 10
armamos la ecuación
8,80 70 x 45 x 18 x 6 x 8
______=__________________________
x 50 x 30 x 30 x 3 x 10
1 70 x 45 x 18 x 6 x 8
____=____________________________
x 50 x 30 x 30 x 3 x 10 x 8,80
8,80 70 x 45 x 18 x 6 x 8
______=__________________________
x 50 x 30 x 30 x 3 x 10
1 70 x 45 x 18 x 6 x 8
____=____________________________
x 50 x 30 x 30 x 3 x 10 x 8,80
50 x 8.80 x 30 x 30 x 3 x 10
x=_________________________
70 x 45 x 18 x 6 x 8
x = 4,37
Rta.: la altura que deberá tener esa pared de 70 mL por 45 mE , será de 4,37 m.
3) Esta situación transcurre en la Municipalidad de San Martín. Se sabe que están
contratados 9 empleados en la sección "retiro de ramas" los cuales trabajan
8 horas por día haciendo un recorrido de 100 cuadras, recogiendo 200 kg. de
ramas en un mes. Al terminar la jornada, se observa que el camión tiene 1,50 m³
de espacio libre. Se quiere averiguar si se contratarían a 2 personas menos,
que tendrían que recoger 350 kg de ramas trabajando por 3 meses a razón de
5 horas por día, retirando las ramas de la mitad de cuadras ¿Cuánto espacio
quedará libre en el camión?
planteo
A B C D E F
9 e-------8 h/d------100 c-------200 kg-------1 m-------1,50 m³ eL
7 e------5 h/d------ 50 c -------350 kg-------3 m--------x
A con F
si 9 empleados dejan un espacio libre de 1,50 m³, menos empleados (7) dejarán
mas espacio libre en el camión, inversa***
B con F
los empleados contratados trabajan 8 h/d y dejan un espacio libre de 1,50 m³
si trabajacen menos h/d (5) recolectarían menos y por ende habría mas lugar en
el camión , inversa***
C con F
recorriendo 100 cuadras se deja sin llenar 1,50 m³ de camión, si las cuadras
fuesen menos (50) sería mas el espacio libre, inversa***
D con F
si al transportar 200 kg de ramas queda sin ocupar 1,50 m³ de , si los kg
fuesen mas (350), sería menos el espacio libre, inversa***
E con F
si trabajando por un mes observamos que quedan sin ocupar 1,50 m³ de camión
si trabajarían mas meses (3), el espacio libre del camión se reduciría, inversa***
armamos las fracciones
I I I I I
9 e-------8 h/d------100 c-------200 kg-------1 m-------1,50 m³ eL
7 e------5 h/d------ 50 c -------350 kg-------3 m--------x
1 7 x 5 x 50 x 350 x 3
____=____________________________
x 9 x 8 x 100 x 200 x 1 x 1,50
2.160.000
x=____________
1.837.500
x= 1,18 m³ quedará de espacio libre en el camión.
contratados 9 empleados en la sección "retiro de ramas" los cuales trabajan
8 horas por día haciendo un recorrido de 100 cuadras, recogiendo 200 kg. de
ramas en un mes. Al terminar la jornada, se observa que el camión tiene 1,50 m³
de espacio libre. Se quiere averiguar si se contratarían a 2 personas menos,
que tendrían que recoger 350 kg de ramas trabajando por 3 meses a razón de
5 horas por día, retirando las ramas de la mitad de cuadras ¿Cuánto espacio
quedará libre en el camión?
planteo
A B C D E F
9 e-------8 h/d------100 c-------200 kg-------1 m-------1,50 m³ eL
7 e------5 h/d------ 50 c -------350 kg-------3 m--------x
A con F
si 9 empleados dejan un espacio libre de 1,50 m³, menos empleados (7) dejarán
mas espacio libre en el camión, inversa***
B con F
los empleados contratados trabajan 8 h/d y dejan un espacio libre de 1,50 m³
si trabajacen menos h/d (5) recolectarían menos y por ende habría mas lugar en
el camión , inversa***
C con F
recorriendo 100 cuadras se deja sin llenar 1,50 m³ de camión, si las cuadras
fuesen menos (50) sería mas el espacio libre, inversa***
D con F
si al transportar 200 kg de ramas queda sin ocupar 1,50 m³ de , si los kg
fuesen mas (350), sería menos el espacio libre, inversa***
E con F
si trabajando por un mes observamos que quedan sin ocupar 1,50 m³ de camión
si trabajarían mas meses (3), el espacio libre del camión se reduciría, inversa***
armamos las fracciones
I I I I I
9 e-------8 h/d------100 c-------200 kg-------1 m-------1,50 m³ eL
7 e------5 h/d------ 50 c -------350 kg-------3 m--------x
7 5 50 350 3 1,50
__ ___ ___ ___ ____ ____
9 8 100 200 1 x
armamos la ecuación
1,50 7 x 5 x 50 x 350 x 3
____=_______________________
x 9 x 8 x 100 x 200 x 1
____=____________________________
x 9 x 8 x 100 x 200 x 1 x 1,50
9 x 8 x 100 x 200 x 1 x 1,50
x=____________________________
7 x 5 x 50 x 350 x 3
x=____________________________
7 x 5 x 50 x 350 x 3
2.160.000
x=____________
1.837.500
x= 1,18 m³ quedará de espacio libre en el camión.
4) 20 tipógrafos en 27 días de 9 horas pueden componer 18 pliegos de 24 páginas con
2 columnas cada página, 42 líneas por columna y 30 letras en cada línea.
¿Cuántas horas al día tendrán que trabajar 36 tipógrafos durante 28 días para
componer 32 pliegos de 36 páginas con una columna de 49 líneas y 44 letras cada
línea?
planteo
20 t------27 d----9h/d----18 pl------24 pa-----2 co-----42 l/co------30 le
36 t------28 d------x------32 pl-------36 pa-----1 co-----49 l/co-----44 le
como podemos observar es un planteo muy interesante para razonar y también para
simplificar mucho mas:
20 x 27 x 9 x 32 x 36 x 1 x 49 x 44
x=___________________________________
36 x 28 x 18 x 24 x 2 x 42 x 30
x = 11
pero también podemos reducir las magnitudes que estén mas relacionadas entre sí
como por ejemplo las líneas con líneas por columna y columnas con columnas por
página:
en la primera proporción
si en una línea hay 30 letras , en mas líneas (42) habrá mas letras
1 li ---------30 le
42 li --------30 x 42 / 1 = 1.260 le/li
si en una página hay 2 columnas, en mas paginas (24) habrá mas columnas
1 pa ----------2 co
24 pa -------- 2 x 24 / 1 = 48 co/pa
en la segunda proporción
si en una línea hay 44 letras, en 49 líneas habrá mas letras
1 li ----------44 le
49 li -------- 44 x 49 / 1 = 2.156 le/li
si una página tiene 1 columna, es simple advertir que 36 páginas tendrán 36 columnas
entonces, 36 co/pa
armemos el planteo , con 6 magnitudes
A B C D E F
20 t------27 d------9h/d-------18 pl--------1.260 le/li---------48 co/pa
36 t ------28 d--------x--------32 pl--------2.156 le/li---------36 co/pa
A con C
si 20 tipógrafos hacen una tarea empleando 9 h/d, mas tipógrafos (36) tardarán menos
B con C
si un trabajo se termina en 27 días trabajando a razón de 9 h/d, si plazo fuese mayor
(28), las horas diarias podrían ser menos
D con C
18 pliegos se realizan a razón de trabajar 9 h/d, si los pliegos fuesen mas (32),
mas serían las horas por día
E con C
para acomodar 1.260 letras por línea se usan 9 h/d, si fuesen mas las letras por línea
(2.156) , serán mas las horas diarias para terminar de acomodarlas
F con C
si para compaginar 48 columnas en una página hacen falta 9 h/d, si las columnas
fuesen menos (36), las horas diarias también serían menos
I I D D D
20 t------27 d------9h/d-------18 pl--------1.260 le/li---------48 co/pa
36 t ------28 d--------x--------32 pl--------2.156 le/li---------36 co/pa
36 28 18 1.260 48
___ ___ ___ _____ ___
20 27 32 2.156 369 36 x 28 x 18 x 1.260 x 48
____=__________________________
x 20 x 27 x 32 x 2.156 x 36
1 36 x 28 x 18 x 1.260 x 48
____=__________________________
x 20 x 27 x 32 x 2.156 x 36 x 9
20 x 27 x 32 x 2.156 x 36 x 9
x=________________________________
36 x 28 x 18 x 1.260 x 48
x=11
Rta: 36 tipógrafos deberán trabajar a razón de 11 horas diarias.
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